Udělal tým matematiků jen velký krok k zodpovězení 160leté otázky v matematice v milionech dolarů?
Možná. Posádka vyřešila řadu dalších menších otázek v oboru nazvaném teorie čísel. A tím znovu otevřeli starou cestu, která by mohla nakonec vést k odpovědi na starou otázku: Je hypotéza Riemanna správná?
Reimannova hypotéza je základní matematická domněnka, která má obrovské důsledky pro zbytek matematiky. Tvoří základ mnoha dalších matematických myšlenek - ale nikdo neví, jestli je to pravda. Jeho platnost se stala jednou z nejznámějších otevřených otázek matematiky. Je to jeden ze sedmi „problémů tisíciletí“ stanovených v roce 2000, s příslibem, že kdokoli je vyřeší, vyhraje 1 milion dolarů. (Od té doby byl vyřešen pouze jeden z problémů.)
Odkud tento nápad vzešel?
V roce 1859 navrhl německý matematik Bernhard Riemann odpověď na zvláště trnitou matematickou rovnici. Jeho hypotéza zní takto: Skutečná část každé netriviální nuly funkce Riemannova zeta je 1/2. To je docela abstraktní matematické tvrzení, které souvisí s tím, jaká čísla můžete vložit do konkrétní matematické funkce, aby se tato funkce rovnala nule. Ukázalo se však, že záleží na tom, co je nejdůležitější, pokud jde o otázky, jak často se setkáte s prvočísly, když se počítáte do nekonečna.
K podrobnostem hypotézy se vrátíme později. Nyní je však důležité vědět, že pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, odpovídá na spoustu otázek v matematice.
„Takže v teorii čísel se často stává, že pokud předpokládáte Riemannovu hypotézu, dokážete dokázat všechny další výsledky,“ řekla Lola Thompsonová, teoretička čísla na Oberlin College v Ohiu, která nebyla zapojena. v tomto nejnovějším výzkumu, řekl.
Často řekla Live Science, že teoretici čísel nejprve dokážou, že něco je pravda, pokud je hypotéza Riemanna pravdivá. Pak použijí tento důkaz jako určitý odrazový můstek k složitějšímu důkazu, který ukazuje, že jejich původní závěr je pravdivý, ať už je hypotéza Riemanna pravdivá či nikoli.
Skutečnost, že tento trik funguje, přesvědčila mnoho matematiků, že hypotéza Riemanna musí být pravdivá.
Pravda je ale taková, že to nikdo neví.
Malý krok k důkazu?
Jak nás tedy tento malý tým matematiků přivedl blíže k řešení?
„To, co jsme v našem článku udělali,“ řekl Ken Ono, teoretik číslo na Emory University a spoluautor nového důkazu, „jsme přehodnotili velmi technické kritérium, které je rovnocenné hypotéze Riemanna… a dokázali jsme velké část toho. Dokázali jsme velký kus tohoto kritéria. “
„Kritérium, které je ekvivalentem Riemannovy hypotézy“, se v tomto případě týká samostatného tvrzení, které je matematicky ekvivalentní Riemannově hypotéze.
Na první pohled není zřejmé, proč jsou obě prohlášení tak propojená. (Kritérium se týká něčeho, co se nazývá „hyperbolicita Jensenových polynomů“.) Ve dvacátých letech však maďarský matematik jménem George Pólya dokázal, že pokud je toto kritérium pravdivé, pak Riemannova hypotéza je pravdivá - a naopak. Je to stará navrhovaná cesta k prokázání hypotézy, ale ta, která byla z velké části opuštěna.
Ono a jeho kolegové v příspěvku zveřejněném 21. května v časopise Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) prokázali, že v mnoha případech je toto kritérium pravdivé.
Ale v matematice, mnoho nestačí počítat jako důkaz. Stále existují případy, kdy nevědí, zda je kritérium pravdivé nebo nepravdivé.
„Je to jako hrát milionu Powerball,“ řekl Ono. „A znáte všechna čísla kromě posledních 20. Pokud je i jedno z těch posledních 20 čísel špatné, ztratíte.… Stále by se to všechno mohlo rozpadnout.“
Vědci by museli předložit ještě pokročilejší důkaz, který by prokázal, že toto kritérium je ve všech případech pravdivé, čímž by se prokázala hypotéza Riemanna. A není jasné, jak daleko je takový důkaz, řekl Ono.
Jak velký je tento dokument?
Pokud jde o hypotézu Riemanna, je těžké říci, jak velká je dohoda. Hodně záleží na tom, co se bude dít dál.
"Je to jen jedna z mnoha ekvivalentních formulací Riemannovy hypotézy," řekl Thompson.
Jinými slovy, existuje mnoho dalších nápadů, které by stejně jako toto kritérium dokázaly, že hypotéza Riemanna je pravdivá, pokud by byly prokázány samy.
„Takže je opravdu těžké vědět, jak velký pokrok to je, protože na jedné straně došlo k pokroku v tomto směru. další ekvivalentní věty místo toho budou, pokud někdo dokáže jeden z nich, “řekl Thompson.
Pokud se důkaz ukáže touto cestou, bude to pravděpodobně znamenat, že Ono a jeho kolegové vyvinuli důležitý základní rámec pro řešení Riemannovy hypotézy. Pokud se ale objeví někde jinde, ukáže se, že tento dokument byl méně důležitý.
Přesto jsou matematici ohromeni.
„Ačkoli to zůstává daleko od prokázání Riemannovy hypotézy, je to velký krok kupředu,“ napsal Encrico Bombieri, teoretik Princetonova čísla, který se nezúčastnil výzkumu týmu, napsal doprovodný článek PNAS 23. května. "Není pochyb o tom, že tento dokument bude inspirovat další zásadní práci v jiných oblastech teorie čísel i v matematické fyzice."
(Bombieri získal v roce 1974 Fields Medal - nejprestižnější cenu v matematice - z velké části za práci související s hypotézou Riemanna.)
Co vlastně Riemannova hypotéza znamená?
Slíbil jsem, že se k tomu vrátíme. Zde je opět Riemannova hypotéza: Skutečná část každé netriviální nuly funkce Riemannova zeta je 1/2.
Pojďme to rozebrat podle toho, jak to vysvětlili Thompson a Ono.
Za prvé, co je funkce Riemannova zeta?
V matematice je funkce vztahem mezi různými matematickými veličinami. Jednoduchý by mohl vypadat takto: y = 2x.
Funkce Riemann zeta se řídí stejnými základními principy. Jen je to mnohem složitější. Jak to vypadá.
Je to součet nekonečné posloupnosti, kde každý termín - prvních několik je 1/1 ^ s, 1/2 ^ sa 1/3 ^ s - se přidá k předchozím termínům. Tyto elipsy znamenají, že série ve funkci se takhle děje navždy.
Nyní můžeme odpovědět na druhou otázku: Co je nula funkce Riemann zeta?
To je snazší. „Nula“ funkce je libovolné číslo, které můžete vložit pro x, které způsobí, že se funkce rovná nule.
Další otázka: Co je „skutečná část“ jednoho z těchto nul a co to znamená, že se rovná 1/2?
Riemannova funkce zeta zahrnuje to, co matematici nazývají „komplexními čísly“. Vypadá to takto: a + b * i.
V této rovnici znamenají „a“ a „b“ jakákoli reálná čísla. Skutečné číslo může být od mínus 3 po nulu, do 4,99234, pi nebo 1 miliarda. Ale je tu další druh čísla: imaginární čísla. Imaginární čísla se objevují, když vezmete druhou odmocninu záporného čísla a jsou důležitá, objevují se ve všech druzích matematických kontextů.
Nejjednodušší imaginární číslo je druhá odmocnina -1, která je zapsána jako „i“. Složité číslo je reálné číslo („a“) plus další reálné číslo („b“) krát i. „Skutečná část“ komplexního čísla je „a“.
Několik nul funkce Riemannova zeta, záporná celá čísla mezi -10 a 0, se pro Reimannovu hypotézu nepočítají. Tito jsou považováni za „triviální“ nuly, protože jsou to reálná čísla, nikoli komplexní čísla. Všechny ostatní nuly jsou „netriviální“ a komplexní čísla.
Riemannova hypotéza říká, že když funkce Riemannova zeta překročí nulu (kromě těch nul mezi -10 a 0), skutečná část komplexního čísla se musí rovnat 1/2.
Tento malý nárok nemusí znít jako velmi důležitý. Ale je to tak. A možná budeme jen trochu dospívající k jeho vyřešení.
