Můj fyzický smysl mi říká, že rychlost vrhnutí je úniková rychlost.
Tato minimalizace by mohla fungovat lépe s poměrem celkové energetické změny asteroidního systému plus vypuzovaného materiálu k energii vypuzovaného materiálu. Raketová rovnice je trochu nápomocná. Raketová rovnice je zachování výsledku hybnosti
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
kde V je rychlost reakce hmoty, a v a m je změna rychlosti a ztráty hmotnosti „rakety“, nebo v tomto případě asteroidu, a m a v jsou počáteční hmotnosti a rychlosti objektu. Nastavili jsme v = 0 a dostaneme
v = V (? m / m)
a integrovaná rychlost je v = V ln (m_i / m_f), pro m_i počáteční hmotnost a m_f konečnou hmotnost. Pokud je změna hmotnosti malá, máme
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
a hybnost asteroidu na konci je p ~ = V (m_i - m_f). Nyní necháme V = u - v_e, pro v_e únikovou rychlost a rychlost objektu odhozenou. To znamená, že V je rychlost odhozeného objektu „v nekonečnu“.
Předpokládejme, že chceme minimalizovat kinetickou energii asteroidu K = (1/2) p ^ 2 / m_f pro daný odhoz kinetické energie E = (1/2)? Mu ^ 2. Konstruujeme bezrozměrný poměr,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, je důležité pracovat s bezrozměrným poměrem. Takže to minimalizujeme pro daný? Ma spočítáme u. Takže minimalizujeme
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
a to je nula na v_e = u. Zdá se to trochu podivné vzhledem k vzorci raketové rovnice, ale já o tom budu diskutovat níže.
Potom vezmeme druhou derivaci, abychom zjistili, zda je to maximum nebo min a dostaneme
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
což v u = v_e je -2 <0, a tak je to min, co chceme. Je také jasné, že u = v_e je minimální kinetická energie, kterou můžeme na hmotu předat.
Zní to zvláštní, že máme v ~ = V (m_i / m_f - 1), což pro V = u - v_e je nula u = v_e. Avšak pro u = v_e se asteroid pohybuje ven, dokud odhozený objekt nedosáhne nekonečna. Účelem toho je vytvoření posunu asteroidu a jakmile odhozený objekt dosáhne „nekonečna“, dosáhne asteroid určitou vzdálenost posunu.
LC
