"Do nekonečna a ještě dál!"
Už jste dokonce hluboce přemýšleli o slavné frázi Buzze Lightyearové z filmů „Toy Story“? Asi ne. Možná jste se ale někdy podívali na noční oblohu a přemýšleli jste o samotné povaze nekonečna.
Nekonečno je podivný koncept, takový, že lidský mozek má těžké zabalit své omezené porozumění. Říkáme, že vesmír může být nekonečný, ale může to opravdu jít navždy? Nebo číslice pí za desetinnou čárkou - skutečně běží donekonečna, vždy nám dávají mnohem přesnější poměr mezi obvodem kruhu a poloměrem? A mohl by mít Buzz pravdu? Je něco mimo nekonečno?
Za účelem vyřešení těchto spekulací ohýbajících mysl, Live Science získala pomoc matematika Henryho Towsnera z University of Pennsylvania ve Philadelphii, který byl tak laskavý, aby zkusil odpovědět na otázku: „Můžete počítat minulé nekonečno?“ (Buďte varováni: bude to složitější.)
Nekonečno, Towsner řekl, sedí na zvláštním místě: Většina lidí má pocit, že mají nějakou intuici o konceptu, ale čím více o tom přemýšlejí, tím je to podivnější.
Matematici naproti tomu nekonečně často považují nekonečno za koncept sám o sobě, dodal. Spíše používají různé způsoby, jak o tom přemýšlet, aby se dostali k mnoha jeho aspektům.
Například existují různé velikosti nekonečna. To dokázal německý matematik Georg Cantor na konci 18. století, podle historie z University of St Andrews ve Skotsku.
Cantor věděl, že přirozená čísla - tj. Celá kladná čísla jako 1, 4, 27, 56 a 15 687 - pokračují navždy. Jsou nekonečné a také to, co používáme k počítání věcí, definoval je jako „nespočetně nekonečné“ podle užitečného webu o historii, matematice a dalších tématech od vzdělávacího karikaturisty Charlese Fishera Coopera.
Skupiny nespočetně nekonečných čísel mají některé zajímavé vlastnosti. Například sudá čísla (2, 4, 6 atd.) Jsou také nespočetně nekonečná. A i když je jich technicky poloviční, než kolik jich obsahuje celá řada přirozených čísel, jsou stále stejná nekonečná.
Jinými slovy, můžete umístit všechna sudá čísla a všechna přirozená čísla vedle sebe do dvou sloupců a oba sloupce půjdou do nekonečna, ale jsou stejná „délka“ nekonečna. To znamená, že polovina spočítatelné nekonečna je stále nekonečno.
Cantorovým skvělým vhledem však bylo uvědomit si, že existují další sady čísel, které byly nespočetně nekonečné. Reálná čísla - která zahrnují přirozená čísla i zlomky a iracionální čísla jako pí - jsou nekonečnější než přirozená čísla. (Pokud byste chtěli vědět, jak to Cantor udělal a dokážete se vypořádat s matematickým zápisem, podívejte se na tento list z University of Maine.)
Pokud byste seřadili všechna přirozená čísla a všechna reálná čísla vedle sebe do dvou sloupců, reálná čísla by přesahovala nekonečno přirozených čísel. Cantor později zbláznil, pravděpodobně z důvodů nesouvisejících s jeho prací o nekonečnu, podle Coopera.
Co se počítá?
Takže zpět k otázce počítání minulosti nekonečna. „Co vás matematika žádá, je:„ Co to vlastně znamená? “Řekl Towsner. "Co tím myslíš počítáním minulosti nekonečna?"
Aby se dostal k problému, Towsner hovořil o pořadových číslech. Na rozdíl od kardinálních čísel (1, 2, 3 atd.), Které vám říkají, kolik věcí je v sadě, jsou ordinály definovány podle svých pozic (první, druhá, třetí atd.) A byly také zavedeny do matematiky Cantor, podle matematického webu Wolfram MathWorld.
V pořadových číslech je pojem nazývaný omega, označený řeckým písmenem ω, Towsner řekl. Symbol ω je definován jako věc, která přichází po všech ostatních přirozených číslech - nebo, jak to nazval Cantor, první transfinitní ordinál.
Ale jedna z věcí o číslech je, že na konci můžete vždy přidat další, řekl Towsner. Existuje tedy něco jako ω + 1 a ω + 2 a dokonce ω + ω. (Pokud vás zajímá, nakonec jste narazili na číslo zvané ω1, které je známé jako první nespočetný ordinál.)
A protože počítání je něco jako přidávání dalších čísel, tyto koncepty vám umožňují počítat minulé nekonečno, řekl Towsner.
Podivnost toho všeho je součástí důvodu, který matematici trvají na důsledném definování jejich termínů, dodal. Pokud není vše v pořádku, je obtížné oddělit naši normální lidskou intuici od toho, co lze matematicky prokázat.
„Matematika ti říká:„ Hluboko prozkoumej, co se počítá? “Řekl Towsner.
Pro nás pouhé smrtelníky by tyto myšlenky mohly být těžké plně spočítat. Jak přesně se pracující matematici vypořádávají s tímto zábavným obchodem ve svém každodenním výzkumu?
„Hodně z toho je praxe,“ řekl Towsner. "Vyvíjíte nové intuice s expozicí a když intuice selže, můžete říci:" Mluvíme o tomto přesném důkladném důkazu krok za krokem. " Takže pokud je tento důkaz překvapivý, můžeme ještě zkontrolovat, zda je správný, a pak se naučit vyvíjet novou intuici kolem toho. ““
